Abschnitt 4.1.2 · Allgemeine mathematische Grundkenntnisse und Größen · Technische Kenntnisse Klasse E. 8 Fragen, jede mit Erklärung.
Auf dieser Seite stehen alle 8 Prüfungsfragen zum Thema Binäres Zahlensystem (Kapitel „Allgemeine mathematische Grundkenntnisse und Größen“). Überlege erst selbst und klappe dann die Lösung auf: Dort steht der Lösungsweg und bei jeder falschen Antwort, welcher Denkfehler dahintersteckt.
Eine elektronische Schaltung kann zwei Zustände sicher unterscheiden: Spannung da oder nicht da, Transistor leitend oder gesperrt. Zehn Zustände auseinanderzuhalten wäre möglich, aber störanfällig — schon ein kleiner Spannungsabfall würde die 6 zur 5 machen. Deshalb rechnet digitale Technik im Dualsystem: es kennt nur 0 und 1, und diese beiden lassen sich als zwei elektrische Zustände darstellen und mit einfachen Schaltelementen verarbeiten. Das ist der ganze Vorteil, und er ist ein Zuverlässigkeitsvorteil, kein Rechenvorteil. Wie viel passt in eine Dualzahl? Jede Stelle verdoppelt die Zahl der Möglichkeiten, denn jede Stelle kann zwei Werte haben. Bei n Stellen sind es also 2 hoch n: 3 Bit ergeben 8, 4 Bit ergeben 16, 5 Bit ergeben 32. Man muss dafür nichts rechnen, nur verdoppeln — 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. Und das Umrechnen einer Dualzahl ins Dezimale ist derselbe Gedanke von rechts gelesen: die Stellen tragen der Reihe nach 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, und man addiert einfach die Werte der Stellen, an denen eine 1 steht. Bei 01001110 sind das 64, 8, 4 und 2 — zusammen 78. Bei 11111000 sind es 128, 64, 32, 16 und 8 — zusammen 248. Zwei Kontrollen machen Fehler sichtbar: steht links eine 1, ist die Zahl mindestens 128, und steht rechts eine 0, ist sie gerade.
Vorteil des Dualsystems
zwei Zustände sind sicher zu unterscheiden
0 und 1 als zwei elektrische Zustände, verarbeitbar mit Transistoren.
Anzahl der Zustände
2 hoch n
n ist die Anzahl der Bit.
3 Bit
8 Zustände
4 Bit
16 Zustände
5 Bit
32 Zustände
8 Bit
256 Zustände
Werte 0 bis 255.
Stellenwerte
von rechts: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
Jede Stelle ist doppelt so viel wie die rechts daneben.
Umrechnen
Werte der Einsen addieren
01001110 ist 64+8+4+2 = 78.
Kontrolle links
führende 1 heißt mindestens 128
10001110 muss also über 128 liegen: 142.
Kontrolle rechts
letzte Stelle 0 heißt gerade
10011100 endet auf 0, ist also gerade: 156.
Merken: Zwei Zustände, weil zwei sich sicher unterscheiden lassen. n Bit ergeben 2 hoch n Zustände — einfach verdoppeln: 2, 4, 8, 16, 32. Zum Umrechnen von rechts die Stellenwerte 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ansetzen und die Einsen addieren. Führende 1 heißt mindestens 128.
EA201Was ist der Vorteil des binären Zahlensystems gegenüber dem dezimalen Zahlensystem in elektronischen Schaltungen?ab Klasse E
Die binären Ziffern 0 und 1 können als zwei elektrische Zustände dargestellt und dadurch einfach mittels Schaltelementen (z. B. Transistoren) verarbeitet werden.
Je Ziffer kann mehr als ein Bit an Information übertragen werden (1 binäre Ziffer erlaubt die Übertragung von 8 Dezimalziffern).
Der Zwischenbereich zwischen 0 und 1 kann von analogen Verstärkerschaltungen mit hoher Genauigkeit abgebildet werden.
Die Genauigkeit des binären Systems (mit zwei Ziffern) ist um den Faktor 5 höher als die des Dezimalsystems (mit 10 Ziffern).
Lösung und Erklärung zeigen
Richtig ist A: Die binären Ziffern 0 und 1 können als zwei elektrische Zustände dargestellt und dadurch einfach mittels Schaltelementen (z. B. Transistoren) verarbeitet werden.
Kniff: Suche die Antwort, die von der Schaltung her argumentiert: gefragt ist der Nutzen in elektronischen Schaltungen, nicht in der Rechnerei. Nur eine Antwort nennt zwei elektrische Zustände und Schaltelemente. Die übrigen behaupten Vorteile bei Informationsmenge oder Genauigkeit, die es so nicht gibt.
Warum die anderen nicht stimmen:
Je Ziffer kann mehr als ein Bit an Information übertragen werden (1 binäre Ziffer erlaubt die Übertragung von 8 Dezimalziffern). – Eine binäre Ziffer ist genau ein Bit und trägt nur zwei Möglichkeiten; die Klammer dreht das Verhältnis um, denn erst mehrere Bit reichen für eine Dezimalziffer.
Der Zwischenbereich zwischen 0 und 1 kann von analogen Verstärkerschaltungen mit hoher Genauigkeit abgebildet werden. – Der Zwischenbereich wird in der Digitaltechnik gerade nicht ausgewertet; dass nur zwei klar getrennte Zustände gelten, ist der Vorteil.
Die Genauigkeit des binären Systems (mit zwei Ziffern) ist um den Faktor 5 höher als die des Dezimalsystems (mit 10 Ziffern). – Die Anzahl der Ziffern sagt nichts über Genauigkeit aus, und der Faktor 5 aus 10 geteilt durch 2 ist nur zusammengerechnet.
EA202Wie viele unterschiedliche Zustände können mit einer Dualzahl dargestellt werden, die aus einer Folge von 3 bit besteht?ab Klasse E
16
8
6
4
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Richtig ist B: 8
Lösungsweg:
Zustände = 2 hoch n, hier n = 3
verdoppeln: 2, 4, 8
2 hoch 3 = 8
Kniff: Setze die Anzahl der Bit als Exponenten ein und verdopple einfach mit: 2, 4, 8. Drei Bit ergeben 8 Zustände. Lass dich nicht auf Bitzahl mal 2 ein, das ist die falsche Rechnung.
Warum die anderen nicht stimmen:
16 – 16 ist 2 hoch 4 und gilt für vier Bit, also eine Stelle zu viel.
6 – Hier wurde die Bitzahl mit 2 multipliziert statt 2 mit ihr potenziert; 6 ist nicht einmal eine Zweierpotenz.
4 – 4 ist 2 hoch 2 und gilt für zwei Bit, also eine Stelle zu wenig.
EA203Wie viele unterschiedliche Zustände können mit einer Dualzahl dargestellt werden, die aus einer Folge von 4 bit besteht?ab Klasse E
16
8
6
4
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Richtig ist A: 16
Lösungsweg:
Zustände = 2 hoch n, hier n = 4
verdoppeln: 2, 4, 8, 16
2 hoch 4 = 16
Kniff: Vier Bit heißt viermal verdoppeln: 2, 4, 8, 16. Zähle die Verdopplungsschritte laut mit, dann landest du nicht bei der Nachbarzahl. Die angebotenen 8 und 4 gehören zu drei und zwei Bit.
Warum die anderen nicht stimmen:
8 – 8 ist 2 hoch 3 und gilt für drei Bit, also eine Stelle zu wenig.
6 – 6 kommt in der Reihe 2, 4, 8, 16, 32 nicht vor; für keine Bitzahl ergeben sich 6 Zustände.
4 – 4 ist 2 hoch 2 und gilt für zwei Bit, also zwei Stellen zu wenig.
EA204Wie viele unterschiedliche Werte können mit einer fünfstelligen Dualzahl dargestellt werden?ab Klasse E
64
128
5
32
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Richtig ist D: 32
Lösungsweg:
fünfstellige Dualzahl heißt n = 5
verdoppeln: 2, 4, 8, 16, 32
2 hoch 5 = 32
Kniff: Fünfstellig heißt fünf Bit, also fünfmal verdoppeln: 2, 4, 8, 16, 32. „Werte“ meint hier dasselbe wie „Zustände“, die andere Wortwahl ändert nichts an der Rechnung. Prüfe zum Schluss, dass du genau fünf Verdopplungen gemacht hast.
Warum die anderen nicht stimmen:
64 – 64 ist 2 hoch 6 und gilt für sechs Stellen, also eine Verdopplung zu viel.
128 – 128 ist 2 hoch 7 und gilt für sieben Stellen, also zwei Verdopplungen zu viel.
5 – 5 ist die Anzahl der Stellen selbst; gefragt ist, wie viele Werte diese fünf Stellen zusammen annehmen können.
EA205Berechnen Sie den dezimalen Wert der Dualzahl 01001110. Die Dezimalzahl lautet:ab Klasse E
142
248
156
78
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Richtig ist D: 78
Lösungsweg:
Stellenwerte von links nach rechts ansetzen: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Einsen stehen bei 64, 8, 4 und 2
64 + 8 + 4 + 2 = 78
Kniff: Schreibe die Stellenwerte von rechts unter die Ziffern und addiere nur dort, wo eine 1 steht: 64 + 8 + 4 + 2 = 78. Die führende 0 sagt dir vorher schon, dass das Ergebnis unter 128 liegen muss — damit fallen alle drei anderen Antworten weg.
Warum die anderen nicht stimmen:
142 – 142 ist 128 + 8 + 4 + 2: die führende 0 wurde als 1 gelesen, also 128 statt 64 gewertet.
248 – 248 ist 128 + 64 + 32 + 16 + 8 und verlangt fünf Einsen links; hier steht links eine 0, der Wert liegt also unter 128.
156 – 156 ist genau das Doppelte von 78: jede Eins wurde eine Stelle zu weit links gewertet, also 128 + 16 + 8 + 4 statt 64 + 8 + 4 + 2.
EA206Berechnen Sie den dezimalen Wert der Dualzahl 10001110. Die Dezimalzahl lautet:ab Klasse E
156
142
78
248
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Richtig ist B: 142
Lösungsweg:
Stellenwerte von links nach rechts ansetzen: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Einsen stehen bei 128, 8, 4 und 2
128 + 8 + 4 + 2 = 142
Kniff: Links steht eine 1, das Ergebnis liegt also über 128, und rechts steht eine 0, es ist gerade. Addiere die Stellenwerte der Einsen: 128 + 8 + 4 + 2 = 142. Achte darauf, dass die drei Einsen ganz rechts bei 8, 4 und 2 stehen und nicht eine Stelle weiter links.
Warum die anderen nicht stimmen:
156 – 156 entsteht, wenn die drei rechten Einsen je eine Stelle zu weit links gewertet werden: 16 + 8 + 4 statt 8 + 4 + 2, zusammen mit 128 ergibt das 156.
78 – 78 entsteht, wenn die führende 1 nur als 64 gezählt wird; die erste Stelle von links trägt aber 128.
248 – 248 ist 128 + 64 + 32 + 16 + 8; dafür müssten die fünf linken Stellen alle 1 sein, hier folgen auf die erste 1 aber drei Nullen.
EA207Berechnen Sie den dezimalen Wert der Dualzahl 10011100. Die Dezimalzahl lautet:ab Klasse E
78
142
248
156
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Richtig ist D: 156
Lösungsweg:
Stellenwerte von links nach rechts ansetzen: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Einsen stehen bei 128, 16, 8 und 4
128 + 16 + 8 + 4 = 156
Kniff: Rechts steht eine 0, die Zahl ist also gerade, und links eine 1, sie liegt über 128. Addiere die Stellenwerte der Einsen: 128 + 16 + 8 + 4 = 156. Die dritte Stelle von links ist 0, die 32 wird also nicht mitgezählt.
Warum die anderen nicht stimmen:
78 – 78 ist die Hälfte von 156: jede Eins wurde eine Stelle zu weit rechts gewertet, also 64 + 8 + 4 + 2 statt 128 + 16 + 8 + 4.
142 – 142 lässt die 128 stehen, zählt die drei mittleren Einsen aber als 8 + 4 + 2 statt als 16 + 8 + 4.
248 – 248 verlangt Einsen bei 64 und 32; an diesen beiden Stellen stehen hier Nullen.
EA208Berechnen Sie den dezimalen Wert der Dualzahl 11111000. Die Dezimalzahl lautet:ab Klasse E
248
156
142
78
Lösung und Erklärung zeigen
Richtig ist A: 248
Lösungsweg:
Stellenwerte von links nach rechts ansetzen: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Einsen stehen bei 128, 64, 32, 16 und 8
128 + 64 + 32 + 16 + 8 = 248
Kniff: Die fünf linken Stellen sind 1, die drei rechten 0. Addiere 128 + 64 + 32 + 16 + 8 = 248. Weil die Einsen ganz links zusammenstehen, muss das Ergebnis die größte der angebotenen Zahlen sein.
Warum die anderen nicht stimmen:
156 – 156 ist 128 + 16 + 8 + 4: die Einsen bei 64 und 32 wurden übersehen und dafür die 4 gezählt, die hier 0 ist.
142 – 142 ist 128 + 8 + 4 + 2: die Einsen bei 64, 32 und 16 fehlen, und rechts werden 4 und 2 gewertet, wo Nullen stehen.
78 – 78 ist 64 + 8 + 4 + 2: die führende 1 wurde nur als 64 gezählt, die Einsen bei 32 und 16 fielen weg, und rechts wurden 4 und 2 mitgerechnet.
Fragen und Abbildungen: Prüfungsfragenkatalog der Bundesnetzagentur, 3. Auflage (gültig seit 24. Juni 2024), Datenlizenz Deutschland – Namensnennung – 2.0. Die Antworten sind gemischt. Erklärungen, Lösungswege und Begriffsblätter: Amateurfunk-Trainer.