Digitale Signalverarbeitung Klasse A

Richtig ist C:

Zeit und Wert sind zwei voneinander unabhängige Achsen, und jede kann für sich kontinuierlich oder diskret sein. Zeitkontinuierlich heißt, das Signal hat zu jedem Zeitpunkt einen Wert und läuft ohne Lücke durch; zeitdiskret heißt, es existiert nur an einzelnen Abtastzeitpunkten. Wertkontinuierlich heißt, jeder Zwischenwert ist erlaubt; wertdiskret heißt, nur festgelegte Stufen sind möglich. Aus zwei Achsen mit je zwei Möglichkeiten ergeben sich vier Kombinationen, und jede sieht anders aus. Ein Signal, das in beiden Richtungen lückenlos ist, ist das rein analoge Signal, wie es aus einem Mikrofon oder von einer Antenne kommt.

Kniff: Prüfe die zwei Achsen getrennt: erst waagerecht, ob eine durchgezogene Linie oder einzelne Punkte gezeichnet sind, dann senkrecht, ob beliebige Höhen vorkommen oder nur Rasterhöhen. Gesucht ist die Kurve, die in beiden Richtungen nichts vorgibt, also durchgezogen und ohne jeden Absatz. Am leichtesten verwechselt man sie mit der Treppenkurve, denn auch die läuft ohne Lücke durch; sie verrät sich durch die waagerechten Plateaus und die senkrechten Sprünge.

Richtig ist C:

Den Wert zu diskretisieren heißt quantisieren: aus jedem Wert wird die nächstgelegene erlaubte Stufe. Das betrifft nur die senkrechte Achse, die Zeitachse bleibt davon unberührt. Ein wertdiskretes, aber zeitkontinuierliches Signal hat deshalb zu jedem Zeitpunkt einen Wert, und dieser Wert ist immer eine der Stufen. Gezeichnet ergibt das eine Treppe: waagerechte Plateaus auf Stufenhöhe, dazwischen Sprünge, aber nirgends eine Lücke. Wertdiskret bedeutet also nicht, dass das Signal nur an einzelnen Zeitpunkten vorhanden ist.

Kniff: Wertdiskret erkennst du an den waagerechten Absätzen und den Sprüngen dazwischen, zeitkontinuierlich daran, dass die Linie nirgends abreißt. Beides zusammen gibt es nur bei der Treppe. Die Falle sind die Punkte, die auf Rasterhöhen sitzen: die sind ebenfalls wertdiskret, aber zeitdiskret. Trenne sie an der einfachen Frage, ob zwischen zwei Zeitpunkten etwas gezeichnet ist oder nicht.

Richtig ist A:

Abtasten greift nur die Zeitachse an. Es entnimmt dem Signal zu festen Zeitpunkten Proben und lässt die Zeit dazwischen leer, sagt aber nichts darüber, welche Werte erlaubt sind. Solange nicht auch quantisiert wird, behält jede Probe genau die Höhe, die das Signal in diesem Augenblick hatte, und die kann jeder beliebige Wert sein. Ein zeitdiskretes, wertkontinuierliches Signal ist deshalb der Zwischenzustand in einem A/D-Umsetzer: schon abgetastet, aber noch nicht in Stufen gepresst.

Kniff: Suche zuerst nach Punkten statt einer Linie, damit hast du die Zeitachse geklärt. Prüfe dann die Höhen: liegen mehrere Nachbarpunkte genau gleich hoch, besonders oben und unten am Umkehrpunkt, ist auch der Wert diskret. Hat dagegen jeder Punkt seine eigene Höhe und fehlt ein waagerechtes Raster, ist der Wert noch kontinuierlich. Die zwei Punktbilder sind die eigentliche Falle, und genau die gleich hohen Nachbarpunkte trennen sie.

Richtig ist C:

Eine vollständige Digitalisierung besteht aus zwei Schritten, und jeder trifft eine andere Achse: das Abtasten macht die Zeit diskret, das Quantisieren macht den Wert diskret. Erst wenn beide ausgeführt sind, lässt sich das Signal als Folge von Zahlen speichern, denn eine Zahl braucht einen festen Zeitpunkt und eine feste Stufe. Ein digitales Signal ist deshalb immer in beiden Richtungen diskret. Die drei anderen Kombinationen sind Ausgangs- oder Zwischenzustände der Kette, aber keine fertigen digitalen Signale.

Kniff: Zwei Haken müssen gesetzt sein: keine durchgezogene Linie, sondern einzelne Punkte, und diese Punkte auf gemeinsamen Höhen, nicht jeder auf seiner eigenen. Das andere Punktbild ist die Falle, und du erkennst das gesuchte daran, dass sich Höhen wiederholen, während im anderen jeder Punkt eine eigene Höhe hat. Die Treppenkurve scheidet aus, sobald du siehst, dass sie zwischen den Zeitpunkten durchgezeichnet ist.

Wertkontinuierlich heißt: Die Spannung kann jeden beliebigen Zwischenwert annehmen. Wertdiskret heißt: nur noch bestimmte Stufen. Dieser Schritt ist die Quantisierung.

Kniff: Zwei Achsen, zwei Schritte: In der ZEIT heißt es Abtasten, im WERT heißt es Quantisieren. Beide zusammen ergeben die Digitalisierung.

Warum die anderen nicht stimmen:

• Sampling – Das ist die Zerlegung in der Zeit, nicht im Wert.
• Codierung – Die Zuordnung von Bitmustern zu den fertigen Stufen — der Schritt danach.
• Raummultiplexing – Ein Verfahren, denselben Kanal räumlich getrennt mehrfach zu nutzen. Mit Digitalisierung hat es nichts zu tun.

Zeitkontinuierlich heißt: Das Signal ist zu jedem Zeitpunkt vorhanden. Zeitdiskret heißt: nur noch zu bestimmten Zeitpunkten. Dieser Schritt heißt Abtasten, englisch Sampling.

Kniff: Die Gegenfrage zu AF605. Wer die beiden Achsen auseinanderhält — Zeit und Wert —, hat beide Aufgaben auf einmal.

Warum die anderen nicht stimmen:

• Codierung – Das ist die Zuordnung der Bitmuster, ein späterer Schritt.
• Quantisierung – Die Zerlegung im WERT, nicht in der Zeit.
• Zeitmultiplexing – Das ist die zeitlich verschachtelte Nutzung eines Kanals durch mehrere Teilnehmer — etwas ganz anderes.

Ein Umsetzer kann nur eine endliche Zahl von Stufen darstellen. Jeder tatsächliche Wert wird auf die nächstgelegene Stufe gerundet — der Rest geht verloren.

Kniff: Der Fehler ist grundsätzlich und lässt sich nur verkleinern, nicht beseitigen. Mehr Bits bedeuten feinere Stufen: Jedes zusätzliche Bit halbiert den Quantisierungsfehler.

Warum die anderen nicht stimmen:

• Die Bandbreite des Eingangssignals ist begrenzt. – Eine begrenzte Bandbreite ist Voraussetzung für die Abtastung, nicht die Ursache des Quantisierungsfehlers.
• Es können nur Werte zwischen 0 und 1 genutzt werden. – Der Wertebereich wird durch die Referenzspannung festgelegt und kann beliebig sein. Entscheidend ist die Zahl der Stufen darin.
• Es können nur ganzzahlige Frequenzen verwendet werden. – Frequenzen spielen bei der Quantisierung keine Rolle — sie betrifft die Amplitude.

Mit n Bit lassen sich 2^n verschiedene Zustände darstellen. Bei 8 Bit sind das 2^8 = 256.

Lösungsweg:

1. Auflösung: 8 Bit
2. Zahl der Stufen: 2^8
3. 2^8 = 256

Kniff: Zweierpotenzen lohnen sich auswendig: 8 Bit sind 256, 10 Bit sind 1024, 12 Bit sind 4096, 16 Bit sind 65 536.

Warum die anderen nicht stimmen:

• 1024 – Das sind 2^10, also 10 Bit — die Aufgabe AF609.
• 64 – Das sind 2^6, also 6 Bit.
• 8 – Die Bitzahl selbst. Sie ist der Exponent, nicht das Ergebnis.

Wieder 2^n: Bei 10 Bit sind es 2^10 = 1024 Stufen.

Lösungsweg:

1. Auflösung: 10 Bit
2. Zahl der Stufen: 2^10
3. 2^10 = 1024

Kniff: Dieselbe Rechnung wie AF608, nur mit zwei Bit mehr — und zwei Bit mehr bedeuten das Vierfache an Stufen.

Warum die anderen nicht stimmen:

• 10 – Die Bitzahl selbst, nicht die Zahl der Stufen.
• 100 – Weder eine Zweierpotenz noch aus der Bitzahl ableitbar.
• 256 – Das sind 2^8, also 8 Bit — die Aufgabe AF608.

Die Schrittweite ist der Wertebereich geteilt durch die Zahl der Stufen.

Lösungsweg:

1. Stufen: 2^8 = 256
2. Schrittweite: 1 V / 256
3. = 0,0039 V, also rund 4 mV

Kniff: Erst die Stufen aus der Bitzahl, dann teilen. Wer durch 8 statt durch 256 teilt, landet weit daneben.

Warum die anderen nicht stimmen:

• ca. 2 mV – Das entspräche 9 Bit (512 Stufen).
• ca. 1 mV – Das entspräche 10 Bit (1024 Stufen) — die Aufgabe AF611.
• ca. 8 mV – Das entspräche 7 Bit (128 Stufen).

Dieselbe Rechnung mit 10 Bit: 1 V geteilt durch 1024 Stufen.

Lösungsweg:

1. Stufen: 2^10 = 1024
2. Schrittweite: 1 V / 1024
3. = 0,00098 V, also rund 1 mV

Kniff: 1 V durch 1024 ergibt fast genau 1 mV — eine Zahl, die man sich merken kann. 10 Bit auf 1 Volt sind rund ein Millivolt Schrittweite.

Warum die anderen nicht stimmen:

• ca. 10 mV – Hier wurde durch 100 geteilt statt durch 1024.
• ca. 0,1 V – Das wären nur 10 Stufen — die Bitzahl als Stufenzahl genommen.
• ca. 1 V – Das ist der ganze Wertebereich, also gar keine Unterteilung.

Richtig ist B:

Ein A/D-Umsetzer mit anschließendem D/A-Umsetzer gibt das Signal nur so genau zurück, wie sein Raster es zulässt, und zwei Angaben bestimmen dieses Raster. Die Auflösung in Bit legt die Stufenhöhe fest: der Wertebereich wird in 2 hoch n gleiche Stufen geteilt. Der Wertebereich legt fest, was überhaupt hineinpasst; was darüber hinausgeht, kann der Umsetzer nicht darstellen. Die Amplitude wird dabei nie vergrößert, denn ein Umsetzer ist kein Verstärker. Ein Eingangssignal, das in den Bereich passt, kommt also mit gleichem Spitzenwert wieder heraus, nur in Stufen zerlegt.

Kniff: Rechne erst die Stufenhöhe: 4 Bit ergeben 2 hoch 4, also 16 Stufen, der Bereich von minus 2 V bis 2 V ist 4 V breit, und 4 V geteilt durch 16 sind 0,25 V je Stufe. Eine Stufe von 0,25 V ist auf einer Achse bis 2 V gut zu sehen, das Bild muss also eine Treppe sein, und der Gipfel liegt sechs Stufen über der Nulllinie. Prüfe dann den Spitzenwert: 1,5 V passt in den Bereich, wird also weder gekappt noch größer. Die Falle ist die glatte Kurve mit richtigem Spitzenwert, bei der nur die Stufen fehlen, und die Treppe, deren Stufen zu grob sind und deren Plateaus bei 1 V liegen.

Richtig ist A:

Die Stufenhöhe eines linearen Umsetzers ist der Wertebereich geteilt durch 2 hoch der Auflösung in Bit. Jedes zusätzliche Bit halbiert die Stufe, weshalb die Stufen mit steigender Bitzahl sehr schnell kleiner werden. Ab etwa zehn Bit sind sie in einer Zeichnung, deren Achse den ganzen Wertebereich zeigt, nicht mehr zu erkennen, und das Ausgangssignal sieht wie das Original aus. Am Spitzenwert ändert die Auflösung nichts: sie bestimmt die Feinheit, nicht die Höhe.

Kniff: Rechne die Stufenhöhe nach: 12 Bit ergeben 4096 Stufen, und 4 V geteilt durch 4096 sind etwa 1 mV. So eine Stufe lässt sich auf einer Achse, die bis 2 V reicht, nicht zeichnen, das richtige Bild muss also glatt aussehen. Damit bleiben nur die zwei glatten Kurven, und die trennst du am Spitzenwert: die Sinusschwingung hat 1,5 V, nicht 2 V. Genau das ist die Falle, denn die Marke 2 V steht im Bild und stammt aus dem Wertebereich; der sagt nur, was hineinpasst, nicht wie hoch das Signal ist.

Richtig ist D:

Der Wertebereich eines Umsetzers ist eine harte Grenze. Ein Eingangswert oberhalb der Grenze bekommt die größte vorhandene Zahl, ein Wert unterhalb die kleinste; am Ausgang erscheint das Signal dort waagerecht abgeschnitten. Diese Übersteuerung ist eine Verzerrung, die auch eine feinere Auflösung nicht behebt, denn sie entsteht nicht aus zu groben Stufen, sondern aus dem zu kleinen Bereich. Vergleiche darum immer zuerst den Spitzenwert mit dem Wertebereich und erst danach die Stufenhöhe mit dem Bild.

Kniff: Vergleiche zuerst 1,5 V mit dem Bereich von minus 1 V bis 1 V. Der Spitzenwert liegt darüber, also muss das Bild oben und unten flache Plateaus auf 1 V und minus 1 V zeigen; die zwei Bilder mit Gipfel bei 1,5 V sind damit erledigt. Rechne dann die Stufenhöhe: 2 V geteilt durch 4096 sind etwa 0,5 mV, das ist nicht zeichenbar, die Flanken bleiben glatt. Die Falle ist das abgeschnittene Bild mit groben Stufen, denn das Kappen stimmt dort, die sichtbaren Stufen passen aber nicht zu 12 Bit.

Die Abtastrate zählt, wie viele Abtastwerte je Sekunde genommen werden. Die Einheit ist Samples je Sekunde, oft auch in Hertz angegeben.

Kniff: Je Zeiteinheit — wie bei jeder Rate. Wer "mal Zeit" rechnet, bekommt die Zahl der Werte insgesamt, nicht die Rate.

Warum die anderen nicht stimmen:

• Abtastungen mal Samples – Abtastungen und Samples sind dasselbe. Das Produkt ergibt keinen sinnvollen Wert.
• Abtastungen je Hertz – Hertz ist bereits je Sekunde. Das ergäbe eine Größe ohne Bedeutung.
• Abtastungen mal Zeit – Das ergäbe die Gesamtzahl der Werte, nicht ihre Rate.

Das Abtasttheorem nennt die untere Grenze: Die Abtastrate muss mehr als das Doppelte der höchsten vorkommenden Signalfrequenz betragen, damit sich das Signal wieder vollständig herstellen lässt.

Kniff: Nicht mit Shannon-Hartley verwechseln — das ist die Kanalkapazität. Das Abtasttheorem handelt von der Digitalisierung, nicht von der Übertragung.

Warum die anderen nicht stimmen:

• bestimmt die maximale Bandbreite, die durch eine Übertragung mit einer bestimmten Datenübertragungsrate theoretisch belegt werden kann. – Das zielt auf einen ganz anderen Zusammenhang. Das Abtasttheorem bestimmt eine Rate, keine Bandbreite.
• besagt, dass unabhängig von der Art der vorherrschenden Störungen eines Übertragungskanals theoretisch eine unbegrenzte Datenübertragungsrate erzielt werden kann. – Das ist eine verdrehte Fassung des Shannon-Hartley-Gesetzes, und auch dort ist die Aussage die gegenteilige.
• besagt, dass theoretisch eine unendliche Abtastrate erforderlich ist, um ein bandbegrenztes Signal fehlerfrei zu rekonstruieren. – Das Gegenteil der Aussage. Gerade dass eine ENDLICHE Rate genügt, ist das Bemerkenswerte daran.

Frequenzanteile oberhalb der halben Abtastrate lassen sich nicht mehr eindeutig darstellen. Sie erscheinen nach der Abtastung als tiefere Frequenzen, die im Original gar nicht vorkamen.

Kniff: Die halbe Abtastrate ist die Grenze. Was darüber liegt, verschwindet nicht — es klappt nach unten um und sitzt danach mitten im Nutzband, wo es nicht mehr zu entfernen ist.

Warum die anderen nicht stimmen:

• bei Mehrwegeausbreitung mit Laufzeitunterschieden auftreten, die höher als die halbe Dauer einer Schwingung des Trägers sind. – Eine Erscheinung der Funkausbreitung, keine der Abtastung.
• beim Empfang eines Signals auftreten, von dessen Spektrum mehr als die Hälfte gestört ist. – Wortspiel mit "Hälfte". Gemeint ist die halbe Abtastfrequenz, nicht die Hälfte des Spektrums.
• beim Senden mit mehrelementigen Richtantennen auftreten, deren Elementabstand größer als die halbe Wellenlänge ist. – Elementabstände betreffen das Strahlungsdiagramm einer Antenne, nicht die Digitalisierung.

Nach dem Abtasttheorem muss die Abtastrate größer sein als das Doppelte der höchsten Signalfrequenz. Genau das Doppelte reicht nicht — es muss knapp darüber liegen.

Kniff: Das Wort "knapp über" ist entscheidend. Bei genau dem Doppelten wäre das Ergebnis nicht mehr eindeutig; deshalb wählt man in der Praxis etwas Abstand.

Warum die anderen nicht stimmen:

• knapp unter (f_max)/2 – Weit unter der Grenze. Das Signal wäre völlig unbrauchbar abgetastet.
• knapp über f_max – Nur die einfache Grenzfrequenz. Gebraucht wird die doppelte.
• knapp unter f_max – Noch weniger als die einfache Frequenz — erst recht zu wenig.

Die Abtastrate muss über dem Doppelten der höchsten Signalfrequenz liegen: über 8000 Abtastungen je Sekunde.

Lösungsweg:

1. 2 · 4 kHz = 8000 Samples/s ist die Untergrenze
2. Die Rate muss darüber liegen
3. Von den angebotenen Werten liegt nur 9600 darüber

Kniff: Gefragt ist der KLEINSTE Wert, der noch über der Grenze liegt. Von den vier Zahlen ist 9600 der einzige über 8000 — die Rechnung führt also eindeutig zu ihm.

Warum die anderen nicht stimmen:

• 4800 Samples/s – Liegt unter der Grenze von 8000. Es entstünden Alias-Fehler.
• 2400 Samples/s – Weit darunter — noch nicht einmal die einfache Bandbreite.
• 4000 Samples/s – Genau die Bandbreite, aber es braucht mehr als das Doppelte davon.

Ausführlicher Rechen- bzw. Lösungsweg im Lehrgang des DARC: 50ohm.de/AF619

Kniff: Die Pfeile verraten alles. Kasten 2 liegt nicht im Signalweg, sondern gibt Kasten 3 von außen etwas vor und wird selbst von der Kontrollinformation gesteuert — das kann nur der Taktgeber sein, der Abtastratengenerator. Kasten 3 nimmt also das Analogsignal und den Takt und gibt Zahlenwerte weiter: der Analog-Digital-Umsetzer. Und was vor dem Umsetzer liegen muss, ist das Antialiasing-Filter — vor dem Abtasten, nicht danach, denn nach dem Abtasten sind die zu hohen Frequenzen schon in den Nutzbereich hineingefaltet und nicht mehr zu trennen. Also Kasten 1.

Warum die anderen nicht stimmen:

• 1: Analog-Digital-Umsetzer, 2: Antialiasing-Filter, 3: Abtastratengenerator – Der Umsetzer steht ganz vorn, direkt an der Antenne, und das Filter wäre an Kasten 2 gar nicht im Signalweg — ein Filter, das nichts zu filtern bekommt. Außerdem müsste der Abtastratengenerator als Kasten 3 das Signal an den Rest des Empfängers weitergeben, was ein Taktgeber nicht tut.
• 1: Abtastratengenerator, 2: Antialiasing-Filter, 3: Analog-Digital-Umsetzer – Kasten 1 liegt zwischen Antenne und Kasten 3, also mitten im Signalweg. Ein Abtastratengenerator hat dort nichts zu suchen; er wird von der Kontrollinformation gesteuert, und die läuft im Bild in Kasten 2.
• 1: Analog-Digital-Umsetzer, 2: Abtastratengenerator, 3: Antialiasing-Filter – Das Filter steht hier hinter dem Umsetzer. Zu diesem Zeitpunkt ist der Schaden schon angerichtet: zu hohe Frequenzen sind beim Abtasten in den Nutzbereich gefaltet und von echten Signalen nicht mehr zu unterscheiden. Das Antialiasing-Filter muss vor den Umsetzer, und der Umsetzer steht in dieser Antwort außerdem vorn an der Antenne statt hinter dem Filter.

Der Abtastzeitpunkt bestimmt, welcher Wert gemessen wird. Zittert der Takt, wird ein wenig zu früh oder zu spät gemessen — der Wert stimmt dann nicht mehr. Diese Abweichungen wirken wie zusätzliches Rauschen.

Kniff: Eine hohe Auflösung macht das Problem nicht kleiner, sondern sichtbarer: Bei 24 Bit sind die Stufen so fein, dass schon winzige Zeitfehler über mehrere Stufen springen.

Warum die anderen nicht stimmen:

• Das Abtastergebnis wird verbessert (Dithering). – Dithering ist ein absichtlich zugesetztes, genau bemessenes Rauschen im WERT. Zeitzittern ist etwas anderes und hilft nicht.
• Aufgrund der großen Auflösung bleibt die Schwankung ohne Auswirkung. – Umgekehrt. Je feiner die Auflösung, desto stärker fällt das Zittern ins Gewicht.
• Das Abschirmblech des A/D-Umsetzers wird durch Vibration störende Geräusche erzeugen. – Das Zittern ist ein elektrisches Zeitproblem, keine mechanische Schwingung.

Alias entsteht, wenn zu hohe Frequenzen in die Abtastung geraten. Also müssen sie vorher weg — ein Tiefpass VOR dem Umsetzer schneidet alles oberhalb der halben Abtastrate ab.

Kniff: Vorher, nicht nachher. Ist das Alias erst entstanden, sitzt es mitten im Nutzband und lässt sich durch kein Filter der Welt mehr entfernen.

Warum die anderen nicht stimmen:

• Hochpassfilter nach dem D/A-Umsetzer – Zweimal falsch: falscher Filtertyp und falscher Ort.
• Tiefpassfilter nach dem D/A-Umsetzer – Der richtige Filtertyp, aber am falschen Ende. Dort heißt er Rekonstruktionsfilter und hat eine andere Aufgabe.
• Hochpassfilter vor dem A/D-Umsetzer – Der richtige Ort, aber der falsche Typ. Ein Hochpass ließe gerade die zu hohen Frequenzen durch.

Ausführlicher Rechen- bzw. Lösungsweg im Lehrgang des DARC: 50ohm.de/AF622

Richtig ist D:

Beim Abtasten mit der Rate f_A darf das Signal keine Frequenz enthalten, die halb so groß wie f_A oder größer ist. Andernfalls faltet sich der zu hohe Anteil in das Nutzband hinein und erscheint dort als falsche, tiefere Frequenz. Dieses Aliasing entsteht im Moment des Abtastens und lässt sich hinterher nicht mehr herausrechnen, denn die falschen Anteile liegen dann mitten im Nutzband. Deshalb muss vor dem A/D-Umsetzer ein Tiefpass sitzen, der bereits bei der halben Abtastrate schließt. Diese Grenze gilt immer, unabhängig davon, welches Signal digitalisiert wird.

Kniff: Rechne die halbe Abtastrate aus: 8000 geteilt durch 2 ergibt 4000, die höchste erlaubte Signalfrequenz ist also 4000 Hz, und im Bild ist das die Marke f_A/2. Gesucht ist der Tiefpass, dessen Kante genau dort liegt. Die zwei Bilder, deren Durchlassbereich erst oberhalb von f_A/2 beginnt, kannst du sofort ausschließen, denn das Sprachsignal selbst liegt bei den tiefen Frequenzen. Die eigentliche Falle ist der Tiefpass mit der Kante bei f_A: er sieht dem richtigen sehr ähnlich, lässt aber genau den Bereich zwischen f_A/2 und f_A durch, der sich beim Abtasten in das Nutzband spiegelt.

Aus den einzelnen Abtastwerten entsteht am D/A-Umsetzer eine Treppenkurve. Deren Stufen enthalten hohe Frequenzanteile, die nicht zum Signal gehören — ein Tiefpass dahinter glättet sie weg.

Kniff: Das Gegenstück zu AF622. Vor dem A/D-Umsetzer verhindert ein Tiefpass das Alias, nach dem D/A-Umsetzer glättet ein Tiefpass die Treppe. Zweimal ein Tiefpass, an beiden Enden.

Warum die anderen nicht stimmen:

• Hochpassfilter vor dem A/D-Umsetzer – Falscher Typ und falscher Ort.
• Tiefpassfilter vor dem A/D-Umsetzer – Das ist das Antialiasing-Filter aus AF622, eine andere Aufgabe am anderen Ende.
• Hochpassfilter nach dem D/A-Umsetzer – Der richtige Ort, aber der falsche Typ — ein Hochpass würde gerade die störenden Stufen durchlassen und das Nutzsignal wegnehmen.

Richtig ist D:

Am Ausgang eines D/A-Umsetzers steht nicht nur das Nutzsignal. Weil der Ausgang in Stufen springt und die Werte nur zu den Abtastzeitpunkten festliegen, enthält das Spektrum zusätzlich Spiegelanteile um die Abtastfrequenz und deren Vielfache, also alles oberhalb der halben Abtastrate. Diese Anteile gehören nicht zum Original und werden mit einem Tiefpass entfernt, der bei der halben Abtastrate schließt. Anti-Alias-Filter und Rekonstruktionsfilter haben damit dieselbe Grenzfrequenz und stehen nur an verschiedenen Stellen der Kette: das eine vor dem Abtasten, das andere nach dem Zurückwandeln.

Kniff: Auch hier ist die Grenze die halbe Abtastrate: 8000 geteilt durch 2 ergibt 4000 Hz, im Bild die Marke f_A/2. Alles oberhalb davon ist am Ausgang des D/A-Umsetzers nur Spiegelanteil und Stufenrest und muss weg, das Sprachsignal selbst liegt darunter und muss bleiben. Damit fallen die zwei Bilder heraus, die die tiefen Frequenzen sperren. Die Falle ist der gleich geformte Tiefpass mit der Kante bei f_A, denn der lässt genau die Spiegelanteile stehen, die das Filter beseitigen soll.

Richtig ist A:

Kniff: Zwei Regeln entscheiden. Erstens muss der Mapper am Ende stehen: er fasst Bits zu Symbolen zusammen und teilt sie auf die beiden Zweige I und Q auf — deshalb hat nur er zwei Ausgänge, und nur so bekommen die beiden D/A-Wandler je einen Zweig. Damit fallen die beiden Reihenfolgen aus, in denen hinter dem Mapper noch ein Codierer sitzt; der müsste sonst mit fertigen Symbolpaaren weiterrechnen. Zweitens kommt der Quellencodierer vor dem Kanalcodierer: er arbeitet auf dem rohen digitalisierten Signal und wirft überflüssige Information weg, aus 0101 wird 01. Erst danach fügt der Kanalcodierer als Schutz gegen Übertragungsfehler Redundanz hinzu, aus 01 wird 01+01. Umgekehrt würde der Quellencodierer genau die Schutzbits wieder wegkomprimieren, die der Kanalcodierer eben eingebaut hat. Übrig bleibt die Reihenfolge Quellencodierer, Kanalcodierer, Mapper. Eselsbrücke: erst kleinmachen, dann sicher machen, dann auf den Träger vorbereiten.

Richtig ist C:

Kniff: Zwei Regeln entscheiden. Erstens muss der Mapper am Ende stehen: er fasst Bits zu Symbolen zusammen und teilt sie auf die beiden Zweige I und Q auf — deshalb hat nur er zwei Ausgänge, und nur so bekommen die beiden D/A-Wandler je einen Zweig. Damit fallen die beiden Reihenfolgen aus, in denen hinter dem Mapper noch ein Codierer sitzt; der müsste sonst mit fertigen Symbolpaaren weiterrechnen. Zweitens kommt der Quellencodierer vor dem Kanalcodierer: er arbeitet auf dem rohen digitalisierten Signal und wirft überflüssige Information weg, aus 0101 wird 01. Erst danach fügt der Kanalcodierer als Schutz gegen Übertragungsfehler Redundanz hinzu, aus 01 wird 01+01. Umgekehrt würde der Quellencodierer genau die Schutzbits wieder wegkomprimieren, die der Kanalcodierer eben eingebaut hat. Übrig bleibt die Reihenfolge Quellencodierer, Kanalcodierer, Mapper. Eselsbrücke: erst kleinmachen, dann sicher machen, dann auf den Träger vorbereiten. Dass hier eine Kamera statt eines Mikrofons an der Quelle steht, ändert an der Reihenfolge nichts — die gleiche Kette gilt für digitalen Sprechfunk (Nachbarfrage AF626).

Richtig ist C:

Kniff: Der Empfangszweig ist der Sendezweig von hinten gelesen — was zuletzt aufgeprägt wurde, muss zuerst wieder abgenommen werden. Daraus folgt erstens: der De-Mapper steht am Anfang. Nur er kann die beiden Zweige I und Q entgegennehmen und aus den Symbolen wieder einen Bitstrom machen; in jeder Antwort laufen die zwei Pfeile der A/D-Wandler in das erste Kästchen, und ein Decodierer an dieser Stelle müsste mit I/Q-Abtastwerten rechnen statt mit Bits. Damit fallen die beiden Reihenfolgen aus, bei denen der De-Mapper in der Mitte sitzt. Zweitens kommt der Kanaldecodierer vor dem Quellendecodierer: er braucht die Schutzbits, solange sie noch da sind, um Übertragungsfehler zu erkennen und zu beheben (aus 01+01 wird 01). Erst der fehlerfreie Nutzdatenstrom darf in den Quellendecodierer, der ihn wieder auf die volle Datenmenge ausdehnt (aus 01 wird 0101). Umgekehrt würde der Quellendecodierer einen Strom ausdehnen, in dem noch Schutzbits als Nutzdaten mitlaufen — das Ergebnis wäre Unsinn, und danach ließe sich kein Fehler mehr korrigieren. Übrig bleibt De-Mapper, Kanaldecodierer, Quellendecodierer.

Richtig ist A:

Kniff: Der Empfangszweig ist der Sendezweig von hinten gelesen — was zuletzt aufgeprägt wurde, muss zuerst wieder abgenommen werden. Daraus folgt erstens: der De-Mapper steht am Anfang. Nur er kann die beiden Zweige I und Q entgegennehmen und aus den Symbolen wieder einen Bitstrom machen; in jeder Antwort laufen die zwei Pfeile der A/D-Wandler in das erste Kästchen, und ein Decodierer an dieser Stelle müsste mit I/Q-Abtastwerten rechnen statt mit Bits. Damit fallen die beiden Reihenfolgen aus, bei denen der De-Mapper in der Mitte sitzt. Zweitens kommt der Kanaldecodierer vor dem Quellendecodierer: er braucht die Schutzbits, solange sie noch da sind, um Übertragungsfehler zu erkennen und zu beheben (aus 01+01 wird 01). Erst der fehlerfreie Nutzdatenstrom darf in den Quellendecodierer, der ihn wieder auf die volle Datenmenge ausdehnt (aus 01 wird 0101). Umgekehrt würde der Quellendecodierer einen Strom ausdehnen, in dem noch Schutzbits als Nutzdaten mitlaufen — das Ergebnis wäre Unsinn, und danach ließe sich kein Fehler mehr korrigieren. Übrig bleibt De-Mapper, Kanaldecodierer, Quellendecodierer. Dass am Ende ein Bildschirm statt eines Lautsprechers steht, ändert an der Reihenfolge nichts — für digitalen Sprechfunk gilt die gleiche Kette (Nachbarfrage AF628).

Die Fouriertransformation zerlegt einen zeitlichen Verlauf in seine Frequenzanteile. Die FFT ist ein besonders schneller Rechenweg dafür, der mit abgetasteten Werten arbeitet.

Kniff: Aus der Zeit wird die Frequenz — das ist der ganze Inhalt. Jedes Wasserfalldiagramm und jeder Spektrumbildschirm in einem SDR beruht darauf.

Warum die anderen nicht stimmen:

• eines diskreten Widerstandswertes in eine Impedanz. – Eine Umrechnung von Bauteilwerten. Mit Signalverarbeitung hat das nichts zu tun.
• eines zeitdiskreten Signals in ein analoges Signal. – Das macht ein D/A-Umsetzer.
• eines Widerstandswertes in einen diskreten Leitwert. – Der Leitwert ist einfach der Kehrwert. Dafür braucht es keine Transformation.

Digitale Filter gibt es in zwei Grundformen: FIR mit endlicher Impulsantwort und IIR mit unendlicher. FIR rechnet nur mit den Eingangswerten, IIR führt zusätzlich eigene Ausgangswerte zurück.

Kniff: Beide Bauformen lassen sich in Software ebenso wie in Hardware verwirklichen — das ist gerade der Vorteil. Und ganz ohne Verzögerung geht es nie: Jede Rechnung braucht Zeit.

Warum die anderen nicht stimmen:

• ohne Latenz realisiert werden. – Jede Rechnung dauert, und ein FIR-Filter braucht zwingend mehrere zurückliegende Abtastwerte. Verzögerungsfrei ist kein digitales Filter.
• nicht in Software realisiert werden. – Gerade das ist der Regelfall — in jedem SDR läuft das Filter als Programm.
• nicht in Hardware realisiert werden. – Auch das geht, etwa in einem FPGA oder einem Signalprozessor.

Kniff: Beide Mischer arbeiten mit derselben Trägerfrequenz, und ihre Ergebnisse werden addiert. Damit sich I und Q im Summensignal nicht vermischen, müssen die beiden Träger senkrecht aufeinander stehen — nur dann lässt der Empfänger sie durch dieselbe Phasenlage wieder trennen. Senkrecht heißt bei einer Schwingung 90 ° (Sinus und Kosinus). Der Name Quadratur sagt es bereits.

Warum die anderen nicht stimmen:

• 180° – Bei 180 ° ist der zweite Träger nur der umgekehrte erste. Beide Zweige liegen dann auf derselben Achse, die Summe ist ein einziges moduliertes Signal aus I − Q; die zwei Kanäle sind nicht mehr zu trennen.
• 45° – Die halbe Drehung genügt nicht: bei 45 ° hat jeder Träger noch einen Anteil in Richtung des anderen. Im Empfänger erscheint dann ein Teil von Q im I-Kanal und umgekehrt — das Übersprechen, das die Quadratur gerade vermeiden soll.
• 0° – Dann bekommen beide Mischer denselben Träger. Der Addierer liefert (I + Q) · Träger, also nur eine Summe zweier Signale in einem Kanal. Der Kasten φ wäre überflüssig.

I steht für "in phase", Q für "quadrature". Beides sind Anteile desselben Signals, bezogen auf eine Referenzschwingung: der eine phasengleich, der andere um 90 ° versetzt.

Kniff: Aus zwei senkrecht zueinander stehenden Anteilen lässt sich jeder Punkt beschreiben — genau wie x und y in einer Ebene. Deshalb enthält ein I/Q-Datenstrom Amplitude UND Phase vollständig.

Warum die anderen nicht stimmen:

• Den Wechselstrom (I) in Abhängigkeit der Güte (Q) eines Schwingkreises bei seiner Resonanzfrequenz – Ein Wortspiel mit den Formelzeichen. I und Q stehen hier für inphase und quadrature, nicht für Strom und Güte.
• Die erste (I) bzw. die vierte (Q) Harmonische in Bezug auf ein normiertes Rechtecksignal – Mit Harmonischen hat I/Q nichts zu tun. Beide Anteile liegen auf derselben Frequenz.
• Den Stromanteil (I) und den Blindleistungsanteil (Q) eines Signals – Wieder die Formelzeichen aus der Leistungsrechnung. Gemeint ist etwas anderes.

Bei I/Q-Abtastung liefern zwei Kanäle zusammen die vollständige Information über Betrag und Vorzeichen der Frequenzablage. Der nutzbare Bereich reicht deshalb von minus der halben bis plus der halben Abtastrate.

Lösungsweg:

1. Abtastrate je Kanal: 48 000 Samples/s
2. Nutzbare Gesamtbreite bei I/Q: 48 kHz
3. Symmetrisch um die Mitte: −24 kHz bis +24 kHz

Kniff: Der Gewinn gegenüber der einfachen Abtastung: Mit I und Q lässt sich unterscheiden, ob eine Frequenz ÜBER oder UNTER der Mitte liegt. Die nutzbare Gesamtbreite ist genau die Abtastrate — hier 48 kHz, also ±24 kHz.

Warum die anderen nicht stimmen:

• 0 Hz und 96 kHz. – Verdoppelt und einseitig gerechnet. Bei I/Q ist der Bereich symmetrisch um die Mittenfrequenz.
• -48 kHz und 48 kHz. – Das wäre die doppelte Abtastrate als Bandbreite — das ist die Aufgabe AF635 mit 96 kS/s.
• 0 Hz und 6 kHz. – Um eine Zehnerpotenz daneben und dazu einseitig.

Wieder gilt: Bei I/Q ist die nutzbare Bandbreite gleich der Abtastrate, symmetrisch um die Mittenfrequenz verteilt.

Lösungsweg:

1. Abtastrate je Kanal: 96 000 Samples/s
2. Nutzbare Gesamtbreite: 96 kHz
3. Symmetrisch: −48 kHz bis +48 kHz

Kniff: Dieselbe Regel wie AF634, nur mit der doppelten Rate — und deshalb auch dem doppelten Bereich.

Warum die anderen nicht stimmen:

• 0 Hz und 192 kHz. – Verdoppelt und einseitig. Der Bereich liegt symmetrisch um die Mitte.
• 0 Hz und 9,6 kHz. – Um eine Zehnerpotenz daneben und einseitig.
• -24 kHz und 24 kHz. – Das ist das Ergebnis für 48 kS/s — die Aufgabe AF634.

Dieselbe Regel in großem Maßstab: 10 Millionen Samples je Sekunde ergeben 10 MHz nutzbare Bandbreite, also ±5 MHz um die Mitte.

Lösungsweg:

1. Abtastrate je Kanal: 10 000 000 Samples/s
2. Nutzbare Gesamtbreite: 10 MHz
3. Symmetrisch: −5 MHz bis +5 MHz

Kniff: Die Regel ist immer dieselbe — halbe Abtastrate nach jeder Seite. Ob Kilohertz oder Megahertz ändert daran nichts.

Warum die anderen nicht stimmen:

• -10 MHz und 10 MHz. – Das wäre die doppelte Abtastrate als Bandbreite.
• 0 Hz und 512 kHz. – Weder der Wert noch die Form stimmt — der Bereich liegt symmetrisch um die Mitte.
• 0 Hz und 1024 kHz. – Ebenfalls weder der Wert noch die Form.

Latenz ist die Zeit, die zwischen Hineingehen und Herauskommen vergeht. Gemessen wird sie in Sekunden, meist in Millisekunden.

Kniff: Jede Rechenstufe kostet Zeit — Puffer, Filter, Codierung. Beim Funkbetrieb macht sich das unmittelbar bemerkbar: Man hört sich selbst verzögert oder fällt dem Partner ins Wort.

Warum die anderen nicht stimmen:

• Schwankung der Amplitude eines Signals in Volt pro Sekunde – Das wäre eine Änderungsgeschwindigkeit der Spannung, keine Verzögerung.
• Geschwindigkeit eines Signals in Metern pro Sekunde – Das ist eine Ausbreitungsgeschwindigkeit.
• Schwankung der Frequenz eines Signals in Hertz pro Sekunde – Das wäre eine Frequenzänderung je Zeit — etwa bei einem Wobbelsender.